Верно: ежиный нос и нос ежа.
Правильно: лизнуть нос.
В словаре Лопатина В. В., Нечаевой И. В. и Чельцовой Л. К. «Прописная или строчная? Орфографический словарь» (М., 2011) рекомендуется в этом имени сказочного персонажа писать все слова с прописной буквы.
Корректно: закапать (лекарство) в нос, в глаза...
Такая глагольная форма существует. Но лучше сказать: управлять машиной, управляй машиной.
См. в «Справочнике по фразеологии».
Вариант ходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи.